大学物理复习资料

定位：兼具快速参考手册和入门学习指南双重功能。

逻辑主线：从「描述运动」到「解释运动的原因」，再到「特殊物体（刚体）的运动」，进而探讨「特殊的运动形式（振动）」，然后认识「振动的传播（波动）」，最后从宏观和微观两个角度「理解热现象」。

质点运动学 → 质点动力学 → 刚体力学 → 简谐振动 → 波动 → 热力学基础

读者前置知识：仅需高中物理基础（运动、力、能量基本概念）

第一章 质点运动学

本章定位：运动学只关心「怎么动」，不关心「为什么动」。本章是整份资料的起点，建立描述运动的数学语言。

章节目标

• 理解参考系和坐标系的作用，学会用矢量描述质点的位置和运动
• 掌握位移、速度、加速度三者的定义与微积分关系
• 能处理直线运动和抛体运动等基本运动模型
• 初步建立「从函数到物理量」的分析思维（为后续动力学的受力分析打基础）

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1.1 参考系与坐标系

概念讲解

高中物理中，我们说「小车向东运动了 10 米」，这句话看似简单，却隐含了一个前提——相对于谁在运动？

想象你坐在一列匀速行驶的火车上，手里的苹果相对于你是静止的，但站台上的人看来苹果在高速运动。同一个苹果，两种描述都「对」，差别在于观察者选择的参照物不同。

参考系就是你选定的「参照物 + 与之固定的坐标框架」。选不同的参考系，对同一个运动的描述会不同。

大学物理中常用的坐标系：

• 直角坐标系 $(x, y, z)$：最通用，适合大多数问题
• 极坐标系 / 自然坐标系：处理圆周运动或曲线运动时更方便

符号说明

符号	含义
$O$	坐标原点
$\hat{i},\ \hat{j},\ \hat{k}$	沿 $x, y, z$ 轴的单位矢量（正方向）
参考系	选定的参照物及与之固定的坐标框架

应用场景

选择地面为参考系时，抛出的篮球做抛物线运动；选择自由下落的电梯为参考系时，篮球近似做匀速直线运动。参考系选得好，问题可以大幅简化。

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1.2 位置矢量与位移

概念讲解

高中时我们用「坐标 $(x, y)$」描述物体在哪。大学物理引入一个更紧凑的工具——位置矢量 $\vec{r}$，它是一条从原点指向物体所在位置的有向线段。

把三维空间想象成一个房间：原点是墙角，$\vec{r}$ 就是从墙角到你当前位置的箭头。知道了 $\vec{r}$，就知道了你的确切位置。

位移 $\Delta\vec{r}$ 描述的是位置的变化，是从起点指向终点的矢量，与路径无关。

位移 vs 路程：位移是矢量（有方向，只看首尾），路程是标量（沿路径的总长度）。绕操场跑一圈，位移为零，路程是 400 米。

核心公式

位置矢量（直角坐标表示）：

$$\vec{r}(t) = x(t)\,\hat{i} + y(t)\,\hat{j} + z(t)\,\hat{k}$$

位移：

$$\Delta\vec{r} = \vec{r}(t_2) - \vec{r}(t_1) = \Delta x\,\hat{i} + \Delta y\,\hat{j} + \Delta z\,\hat{k}$$

路程 $s$ 是标量，等于路径曲线的弧长，一般 $|\Delta\vec{r}| \leq s$。

符号说明

符号	含义	单位
$\vec{r}$	位置矢量	m
$\Delta\vec{r}$	位移矢量	m
$s$	路程（弧长）	m
$x(t),\ y(t),\ z(t)$	坐标随时间的函数	m

应用场景

物体沿圆弧运动半周：位移大小等于直径（$2r$），方向沿直径；路程等于半圆弧长（$\pi r$）。两者截然不同。

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1.3 速度与速率

概念讲解

高中里，$v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ 是平均速度。但物体在每一瞬间都在运动，平均速度只能给出粗略的描述。

要精确描述某一瞬间的运动快慢和方向，需要让时间间隔 $\Delta t$ 趋近于零——这就是瞬时速度，本质是位置矢量对时间的导数：

$$\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}$$

瞬时速度是矢量，方向沿轨迹的切线方向（想象汽车转弯时，车头指向的方向就是瞬时速度的方向）。

速率 $v$ 是速度的大小（标量），$v = |\vec{v}|$。

速度 vs 速率：速度告诉你「往哪走、走多快」，速率只告诉你「走多快」。匀速圆周运动中速率不变，但速度方向不断变化。

核心公式

瞬时速度：

$$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\,\hat{i} + \frac{dy}{dt}\,\hat{j} + \frac{dz}{dt}\,\hat{k}$$

瞬时速率：

$$v = |\vec{v}| = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2}$$

平均速度（有限时间间隔内）：

$$\bar{\vec{v}} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$$

符号说明

符号	含义	单位
$\vec{v}$	瞬时速度	m/s
$v = \vec{v}$	瞬时速率	m/s
$\bar{\vec{v}}$	平均速度	m/s
$v_x,\ v_y,\ v_z$	速度的分量	m/s

应用场景

已知运动方程 $\vec{r}(t) = 3t\,\hat{i} + 2t^2\,\hat{j}$，对其求导即得 $\vec{v}(t) = 3\,\hat{i} + 4t\,\hat{j}$。$t=1\text{s}$ 时，速度为 $3\hat{i} + 4\hat{j}$ m/s，速率 $v = \sqrt{9+16} = 5$ m/s。

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1.4 加速度

概念讲解

速度描述「位置变化的快慢」，那速度本身的变化又如何描述？——这就是加速度。

加速度是速度对时间的导数，也是位置对时间的二阶导数：

$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$$

加速度是矢量，它的方向不一定与速度方向相同：

• 加速度与速度同向：物体加速（直线运动中越来越快）
• 加速度与速度反向：物体减速
• 加速度与速度垂直：只改变方向，不改变速率（匀速圆周运动）

直觉类比：速度是「你走得多快」，加速度是「你踩油门的力度」。踩油门（加速度与速度同向）车加速，踩刹车（加速度与速度反向）车减速，打方向盘（加速度与速度垂直）车转弯。

曲线运动中的加速度分解

在曲线运动中，把加速度沿切向和法向分解更方便理解：

$$\vec{a} = a_t\,\hat{e}_t + a_n\,\hat{e}_n$$

• 切向加速度 $a_t$：沿速度方向，改变速率的快慢
• 法向加速度 $a_n$：垂直于速度方向（指向曲线凹侧），改变速度的方向

核心公式

加速度定义：

$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$$

切向加速度：

$$a_t = \frac{dv}{dt}$$

法向加速度（$\rho$ 为曲率半径）：

$$a_n = \frac{v^2}{\rho}$$

加速度大小：

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$$

符号说明

符号	含义	单位
$\vec{a}$	加速度	m/s²
$a_t$	切向加速度	m/s²
$a_n$	法向加速度	m/s²
$\rho$	轨迹的曲率半径	m
$\hat{e}_t,\ \hat{e}_n$	切向和法向的单位矢量	—

应用场景

匀速圆周运动中 $a_t = 0$（速率不变），$a_n = v^2/r$（指向圆心）。这就是高中学过的「向心加速度」——它是法向加速度在圆周运动中的特例。

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1.5 几种典型的运动模型

概念讲解

掌握了位置、速度、加速度的微积分关系后，我们可以把常见的运动类型统一在一个框架下处理。以下三种模型覆盖了大多数基础问题。

一、匀变速直线运动

加速度 $a$ 为常量，运动沿一条直线。这是高中最熟悉的运动类型，在大学物理中用微积分语言重新表述。

由 $a = \dfrac{dv}{dt}$ 分离变量积分：

$$v = v_0 + at$$

由 $v = \dfrac{dx}{dt}$ 再积分：

$$x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$$

消去 $t$ 得到不含时间的关系：

$$v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$$

二、抛体运动

水平方向匀速、竖直方向匀变速（重力加速度 $g$），两个方向独立。

以抛出点为原点，初速度大小 $v_0$，仰角 $\theta$：

水平方向（匀速）：

$$x = v_0 \cos\theta \cdot t$$

竖直方向（匀变速）：

$$y = v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$

消去 $t$ 得轨迹方程（抛物线）：

$$y = x\tan\theta - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}\,x^2$$

三、圆周运动

用角量描述转动更自然：

线量	角量	关系
弧长 $s$	角位移 $\theta$	$s = r\theta$
速率 $v$	角速度 $\omega$	$v = r\omega$
切向加速度 $a_t$	角加速度 $\alpha$	$a_t = r\alpha$

角速度和角加速度的定义：

$$\omega = \frac{d\theta}{dt}, \quad \alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}$$

匀速圆周运动（$\omega$ 恒定）的向心加速度：

$$a_n = \frac{v^2}{r} = r\omega^2$$

匀变速圆周运动（$\alpha$ 恒定）的角量公式，形式上与匀变速直线运动完全类比：

$$\omega = \omega_0 + \alpha t$$

$$\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$$

$$\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$$

符号说明

符号	含义	单位
$a$	加速度（直线运动）	m/s²
$g$	重力加速度（约 9.8 m/s²）	m/s²
$\theta$	角位移 / 抛射角	rad / °
$\omega$	角速度	rad/s
$\alpha$	角加速度	rad/s²
$r$	圆周运动半径	m

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本章常用公式表

类别	公式	说明
位置矢量	$\vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j} + z(t)\hat{k}$	三维位置的矢量表示
速度	$\vec{v} = \dfrac{d\vec{r}}{dt}$	位置对时间求导
加速度	$\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}$	速度对时间求导
位置（积分）	$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \int_0^t \vec{v}(t')\,dt'$	由速度积分得位置
切向加速度	$a_t = \dfrac{dv}{dt}$	改变速率
法向加速度	$a_n = \dfrac{v^2}{\rho}$	改变方向，$\rho$ 为曲率半径
匀变速直线	$v = v_0 + at$	速度-时间关系
匀变速直线	$x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$	位移-时间关系
匀变速直线	$v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0)$	不含时间的速度-位移关系
抛体水平	$x = v_0\cos\theta \cdot t$	水平方向匀速
抛体竖直	$y = v_0\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$	竖直方向匀变速
角速度	$\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$	角位移对时间求导
角加速度	$\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$	角速度对时间求导
角量-线量	$v = r\omega,\quad a_t = r\alpha,\quad a_n = r\omega^2$	圆周运动中的换算关系

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例题与详解

例题 1：圆周运动的速率、加速度与圈数

题目：质点沿半径 $R = 2$ m 的圆周自静止开始运动，角速度 $\omega = 4t^2$（SI）。求：（1）$t = 1$ s 时的速率；（2）$t = 1$ s 时加速度的大小；（3）$t = 3$ s 时质点转过的圈数。

整体分析

拿到这道题，首先要意识到：题目给的是角量（$\omega$ 随 $t$ 的变化），而问的是线量（速率、加速度）和运动累积量（圈数）。所以解题的核心就是——在角量和线量之间来回翻译。

具体来说：

• 速率是线量，$\omega$ 是角量，用 $v = R\omega$ 翻译即可
• 加速度有两个分量：切向（改变快慢）和法向（改变方向），它们分别对应角加速度 $\alpha$ 和角速度的平方 $\omega^2$
• 圈数是角度的累积，而角度是角速度对时间的积分——这和「位移是速度对时间的积分」是完全一样的逻辑

详解

（1）速率

速率和角速度的关系是 $v = R\omega$，这是圆周运动中最基本的「翻译公式」。它的物理含义很直观：同样转得快（$\omega$ 相同），半径越大，边缘跑得越快（$v$ 越大）。

$$v = R\omega = 2 \times 4t^2 = 8t^2$$

$t = 1$ s 时，$v = 8$ m/s。

（2）加速度的大小

这里的关键认知是：加速度不是标量，它有方向。在圆周运动中，把加速度分解为切向和法向两个方向，比直接用直角坐标分解要自然得多——因为这两个方向恰好对应了速度变化的两种方式：变快（切向）和变方向（法向）。

切向加速度衡量的是速率变化的快慢。角加速度 $\alpha = d\omega/dt$，而 $a_t = R\alpha$ 把它翻译到线量：

$$\alpha = \frac{d(4t^2)}{dt} = 8t \quad \Rightarrow \quad a_t = R\alpha = 2 \times 8t = 16t$$

法向加速度衡量的是速度方向变化的快慢。它的公式 $a_n = v^2/R = R\omega^2$ 暗含一个直觉：转得越快、弯越急（$R$ 越小），需要的「转向力」越大。

$$a_n = R\omega^2 = 2 \times (4t^2)^2 = 32t^4$$

$t = 1$ s 时：$a_t = 16$ m/s²，$a_n = 32$ m/s²。

两个分量互相垂直，所以总加速度用勾股定理合成：

$$a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{16^2 + 32^2} = \sqrt{1280} = 16\sqrt{5} \approx 35.8 \text{ m/s}^2$$

注意到 $a_n \gg a_t$——法向加速度远大于切向。这意味着此刻质点的运动状态主要是「在急剧改变方向」，速率的变化相对次要。这在快速圆周运动中很常见。

（3）转过的圈数

圈数就是「总共转了多少个 $2\pi$」。所以问题归结为：求 $t=0$ 到 $t=3$ s 的总角位移。

角位移是角速度对时间的积分——这和「位移 = 速度对时间积分」是同一个思想，只是把线量换成了角量：

$$\theta = \int_0^3 \omega\,dt = \int_0^3 4t^2\,dt = \frac{4}{3}t^3 \bigg|_0^3 = 36 \text{ rad}$$

圈数：

$$N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{36}{2\pi} = \frac{18}{\pi} \approx 5.73 \text{ 圈}$$

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例题 2：法向与切向加速度的综合分析

题目：一质点在半径为 $0.10$ m 的圆周上运动，其角位置为 $\theta = 2 + 4t^3$（$\theta$ 单位为 rad，$t$ 单位为 s）。求：（1）$t = 2.0$ s 时的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，$\theta$ 值为多少？（3）$t$ 为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？

整体分析

这道题比上一题多了一层：给的是角位置 $\theta(t)$ 而不是角速度 $\omega(t)$。所以第一步必须通过求导「向上爬」——从位置到速度到加速度，这是运动学的基本操作链。

第（2）（3）问看起来复杂，但本质上都是在 $a_t$ 和 $a_n$ 之间建立一个方程。难点不在于公式，而在于把文字条件翻译成数学等式。

详解

先把角量链条求出来，后面所有问题都基于这些：

$$\omega = \frac{d\theta}{dt} = 12t^2, \quad \alpha = \frac{d\omega}{dt} = 24t$$

（1）$t = 2.0$ s 时的加速度

有了 $\omega$ 和 $\alpha$，翻译到线量就是一步的事：

$$a_n = R\omega^2 = 0.10 \times (12 \times 4)^2 = 0.10 \times 48^2 = 230.4 \text{ m/s}^2$$

$$a_t = R\alpha = 0.10 \times 48 = 4.8 \text{ m/s}^2$$

直觉检验：$a_n \approx 48 \times a_t$，法向加速度远大于切向。这意味着此刻质点几乎在做匀速圆周运动——速率变化很慢，但方向在剧烈变化。

（2）$a_t = a/2$ 时的 $\theta$

这道题的难点在于：如何把「切向加速度是总加速度的一半」翻译成方程？

总加速度 $a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$。条件 $a_t = a/2$ 意味着：

$$a_t = \frac{1}{2}\sqrt{a_t^2 + a_n^2}$$

两边平方整理，得到 $a_n = \sqrt{3}\,a_t$——这是一个纯粹的几何关系，来自直角三角形中 $30°$-$60°$ 的边长比。

代入角量表达式：

$$R\omega^2 = \sqrt{3}\,R\alpha \quad \Rightarrow \quad \omega^2 = \sqrt{3}\,\alpha$$

$$144t^4 = 24\sqrt{3}\,t \quad \Rightarrow \quad t^3 = \frac{\sqrt{3}}{6} \quad \Rightarrow \quad t \approx 0.659 \text{ s}$$

代入 $\theta$ 表达式：

$$\theta = 2 + 4t^3 = 2 + 4 \times \frac{\sqrt{3}}{6} = 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 3.15 \text{ rad}$$

注意：这里 $4t^3$ 恰好可以用 $t^3 = \sqrt{3}/6$ 直接代入，不需要先算出 $t$ 的数值再代入——这是代数运算中的一个小技巧，减少了不必要的数值误差。

（3）$a_n = a_t$ 时的 $t$

这个条件翻译过来就是：法向加速度和切向加速度大小相等。由于两者互相垂直，这意味着总加速度与切向成 $45°$ 角——质点此刻「变快」和「变方向」的程度恰好相同。

$$R\omega^2 = R\alpha \quad \Rightarrow \quad \omega^2 = \alpha$$

$$144t^4 = 24t \quad \Rightarrow \quad 144t^3 = 24 \quad \Rightarrow \quad t^3 = \frac{1}{6}$$

$$t = \frac{1}{\sqrt[3]{6}} \approx 0.55 \text{ s}$$

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第二章 质点动力学

本章定位：动力学回答「为什么动」——力如何改变运动状态。本章从牛顿三定律出发，引出功、能、冲量、动量等核心守恒量，是后续刚体力学和振动的力学基础。

章节目标

• 深入理解牛顿三定律的物理含义及其适用条件
• 掌握受力分析的方法，能建立并求解牛顿运动方程
• 理解功与能的概念，掌握动能定理和功能原理
• 理解冲量与动量的概念，掌握动量定理和动量守恒定律
• 初步认识守恒律的物理意义（为后续章节中角动量守恒、能量守恒等做铺垫）

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2.1 牛顿运动定律

概念讲解

第一章我们学会了「怎么描述运动」，但没有回答一个根本问题：是什么让物体运动状态发生改变？ 答案是——力。

牛顿在 1687 年提出的三条定律，是整个经典力学的基石。它们可以用日常经验来理解：

第一定律（惯性定律）：如果一个物体不受力（或受力平衡），它就保持静止或匀速直线运动。这打破了「力是维持运动的原因」的直觉——力不是让物体运动的原因，而是让物体改变运动的原因。

第二定律：物体的加速度与所受合外力成正比，与质量成反比。这告诉我们力如何改变运动：同样的力，质量越大，加速越难。

第三定律：每个力都有一个大小相等、方向相反的反作用力。你推墙，墙也推你——力总是成对出现的。

核心公式

牛顿第二定律：

$$\vec{F}_{net} = m\vec{a}$$

分量形式（直角坐标系）：

$$F_x = ma_x, \quad F_y = ma_y, \quad F_z = ma_z$$

力的叠加原理：多个力同时作用时，合力等于各力的矢量和：

$$\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \cdots + \vec{F}_n$$

第三定律：物体 A 对 B 的力 $\vec{F}_{A \to B}$ 与 B 对 A 的力：

$$\vec{F}_{A \to B} = -\vec{F}_{B \to A}$$

常见力的分类

力	大小	方向	说明
重力	$mg$	竖直向下	地表附近近似恒力
弹力（弹簧）	$kx$	指向平衡位置	$k$ 为劲度系数，$x$ 为形变量
支持力 / 正压力	由约束决定	垂直于接触面	被动力，大小由运动方程决定
摩擦力（静）	$0 \leq f_s \leq \mu_s N$	与相对运动趋势相反	$\mu_s$ 为静摩擦因数
摩擦力（动）	$f_k = \mu_k N$	与相对运动方向相反	$\mu_k$ 为动摩擦因数

符号说明

符号	含义	单位
$\vec{F}$	力	N
$m$	质量	kg
$\vec{a}$	加速度	m/s²
$k$	劲度系数	N/m
$\mu_s,\ \mu_k$	静 / 动摩擦因数	—
$N$	正压力大小	N

应用场景

惯性参考系是牛顿定律严格成立的参考系。地面近似为惯性系；加速行驶的汽车不是惯性系——在汽车参考系中，静止的物体会「无故」加速，牛顿定律不直接适用，需要引入「惯性力」修正。

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2.2 牛顿定律的应用

概念讲解

牛顿第二定律 $\vec{F} = m\vec{a}$ 看起来简单，但实际问题中往往涉及多个物体和多种力。系统化的解题方法是关键。

受力分析三步法：

1. 选对象：明确你要分析哪个物体（隔离体）
2. 画力图：在物体上画出所有作用力（重力、弹力、摩擦力等），不遗漏、不多画
3. 列方程：沿选定坐标系分解，$\sum F_x = ma_x$，$\sum F_y = ma_y$

连接体问题

当多个物体通过绳、弹簧等连接时，需要对每个物体分别列方程（隔离体法），再联立求解。

典型场景：两个物体通过轻绳跨过光滑滑轮连接。对每个物体分别画力图、列方程，绳中张力 $T$ 是连接两个方程的桥梁。

非惯性系中的惯性力

在加速参考系中，为了使牛顿定律形式上成立，需引入惯性力：

$$\vec{F}_{inertial} = -m\vec{a}_0$$

其中 $\vec{a}_0$ 是非惯性系相对惯性系的加速度。惯性力不是真实的力，没有施力物体，是参考系加速运动的「等效效果」。

符号说明

符号	含义	单位
$\sum \vec{F}$	合外力	N
$T$	绳中张力	N
$\vec{F}_{inertial}$	惯性力	N
$\vec{a}_0$	非惯性系的加速度	m/s²

应用场景

电梯中的「超重」与「失重」：电梯加速上升时，人受到的支持力 $N = m(g + a) > mg$（超重）；自由落体时 $a = g$，$N = 0$（完全失重）。这都是非惯性系中惯性力的体现。

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2.3 功与动能定理

概念讲解

力作用在物体上，物体移动了一段距离，力就对物体做了功。功是力对空间的累积效应——它衡量的是「力在多大程度上改变物体的运动快慢」。

直觉类比：推一辆车，推力方向与车的运动方向一致时，你做正功（车加速）；推力方向与运动方向相反时，你做负功（车减速）。如果推力与运动方向垂直（比如你向上提车把，车水平移动），你没有做功。

核心公式

恒力做功（力与位移的点积）：

$$W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r} = F|\Delta\vec{r}|\cos\theta$$

变力做功（沿路径的线积分）：

$$W = \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} (F_x\,dx + F_y\,dy + F_z\,dz)$$

动能：

$$E_k = \frac{1}{2}mv^2$$

动能定理——合力做的功等于动能的变化：

$$W_{net} = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2$$

动能定理是牛顿第二定律在空间上的积分形式。它绕过了加速度，直接建立「做功」与「速度变化」的关系。

功率

单位时间内做的功，描述做功的快慢：

$$P = \frac{dW}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v}$$

符号说明

符号	含义	单位
$W$	功	J
$E_k$	动能	J
$\theta$	力与位移的夹角	°
$P$	功率	W
$\vec{v}$	速度	m/s

应用场景

一辆汽车以恒定功率 $P$ 行驶，由 $P = Fv$ 可知：速度越大，牵引力越小。这就是为什么汽车在高速时加速能力变弱——发动机的功率是有限的。

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2.4 势能与机械能守恒

概念讲解

并非所有力做功都与路径有关。有一种力。有一种力——保守力——做功只取决于起点和终点，与走哪条路无关。重力、弹簧弹力就是典型的保守力。

直觉类比：从山顶走到山脚，无论走盘山路还是直线下降，重力做的功相同。但摩擦力不同——走的路越长，摩擦力做的功越多。前者是保守力，后者是非保守力。

对于保守力，可以定义势能 $E_p$——它是一种「储存」起来的能量，由物体的位置决定：

$$W_{cons} = -\Delta E_p = -(E_{p2} - E_{p1})$$

常见势能

保守力	势能公式	零势能参考点
重力	$E_p = mgh$	地面（$h=0$）
弹簧弹力	$E_p = \frac{1}{2}kx^2$	平衡位置（$x=0$）
万有引力	$E_p = -\dfrac{GMm}{r}$	无穷远处（$r \to \infty$）

机械能守恒

机械能是动能与势能之和：$E = E_k + E_p$。

机械能守恒条件：只有保守力做功（非保守力不做功或做功为零）。

$$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$$

如果有非保守力（如摩擦力）做功，机械能不守恒，但可以用功能原理处理：

$$W_{non\text{-}cons} = \Delta E_k + \Delta E_p = \Delta E$$

非保守力做的功等于机械能的变化。

势能与力的关系

已知势能函数 $E_p(\vec{r})$，可以通过求导得到对应的保守力：

$$\vec{F} = -\nabla E_p = -\left(\frac{\partial E_p}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial E_p}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial E_p}{\partial z}\hat{k}\right)$$

一维情况下简化为：

$$F = -\frac{dE_p}{dx}$$

符号说明

符号	含义	单位
$E_p$	势能	J
$E$	机械能	J
$h$	高度	m
$x$	弹簧形变量	m
$\nabla$	梯度算子	—
$W_{non\text{-}cons}$	非保守力做的功	J

应用场景

一个物体从高处自由落下，只有重力做功，机械能守恒：$mgh = \frac{1}{2}mv^2$。由此可以直接求出落地速度 $v = \sqrt{2gh}$，无需知道运动时间。这就是能量方法的优势——它跳过过程细节，直接联系首末状态。

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2.5 冲量与动量定理

概念讲解

功是力对空间的累积，冲量则是力对时间的累积。两者是对称的概念：

	空间累积	时间累积
效果	改变动能	改变动量
定理	动能定理	动量定理
守恒条件	只有保守力做功	合外力为零

直觉类比：接住一个飞来的鸡蛋，你可以用硬板（短时间、大力）接，也可以用软垫（长时间、小力）接。冲量相同（动量变化相同），但力的大小不同。这就是安全气囊的原理——延长作用时间，减小冲击力。

核心公式

动量：

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

冲量：

$$\vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}\,dt$$

恒力的冲量：$\vec{I} = \vec{F}\,\Delta t$

动量定理——合力的冲量等于动量的变化：

$$\vec{I} = \Delta\vec{p} = m\vec{v}_2 - m\vec{v}_1$$

分量形式：

$$\int_{t_1}^{t_2} F_x\,dt = mv_{2x} - mv_{1x}$$

（$y, z$ 方向同理）

动量守恒定律：当系统所受合外力为零时，系统总动量守恒：

$$\sum \vec{p} = \text{const}$$

动量守恒是比牛顿定律更基本的原理——它在微观世界（粒子物理）中同样成立，而牛顿定律在高速和微观尺度下需要修正。

符号说明

符号	含义	单位
$\vec{p}$	动量	kg·m/s
$\vec{I}$	冲量	N·s
$\Delta\vec{p}$	动量变化量	kg·m/s
$\vec{F}$	力	N

应用场景

火箭在太空中靠喷出燃气获得推力。喷出的燃气向后，火箭获得向前的动量——这就是动量守恒的直接应用。火箭不需要「推空气」，它靠的是系统内部的质量喷射。

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2.6 碰撞问题

概念讲解

碰撞是动量守恒最经典的应用场景。两个物体碰撞时，内力远大于外力，可以认为碰撞瞬间系统动量守恒。

根据碰撞过程中动能是否守恒，碰撞分为两类：

弹性碰撞：碰撞前后总动能守恒（动量也守恒）。台球碰撞近似弹性碰撞。

完全非弹性碰撞：碰撞后两物体粘在一起，以共同速度运动。动能损失最大（转化为形变、热等）。

核心公式

动量守恒（碰撞瞬间，一维情况）：

$$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$$

弹性碰撞附加条件（动能守恒）：

$$\frac{1}{2}m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2f}^2$$

联立以上两式，弹性碰撞的解（$m_2$ 初始静止时）：

$$v_{1f} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_{1i}, \quad v_{2f} = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_{1i}$$

完全非弹性碰撞（碰撞后速度相同）：

$$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = (m_1 + m_2)\,v_f$$

$$v_f = \frac{m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i}}{m_1 + m_2}$$

符号说明

符号	含义	单位
$v_{1i},\ v_{2i}$	碰撞前速度	m/s
$v_{1f},\ v_{2f}$	碰撞后速度	m/s
$m_1,\ m_2$	两物体质量	kg
$v_f$	完全非弹性碰撞后共同速度	m/s

应用场景

特殊情况：$m_1 = m_2$ 且 $m_2$ 静止时，弹性碰撞的结果是 $v_{1f} = 0$，$v_{2f} = v_{1i}$——第一个球完全停下来，第二个球以原来的速度前进。这就是牛顿摆的原理。

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本章常用公式表

类别	公式	说明
牛顿第二定律	$\vec{F}_{net} = m\vec{a}$	力与加速度的关系
第三定律	$\vec{F}_{A \to B} = -\vec{F}_{B \to A}$	作用力与反作用力
摩擦力	$f_k = \mu_k N$，$0 \leq f_s \leq \mu_s N$	动摩擦 / 静摩擦
功（变力）	$W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$	力沿路径的线积分
动能	$E_k = \frac{1}{2}mv^2$	运动的能量
动能定理	$W_{net} = \Delta E_k$	合力做功等于动能变化
重力势能	$E_p = mgh$	取地面为零势能点
弹性势能	$E_p = \frac{1}{2}kx^2$	取平衡位置为零势能点
势能与力	$F = -\dfrac{dE_p}{dx}$	保守力是势能的负梯度
机械能守恒	$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$	仅保守力做功时
功率	$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$	单位时间做的功
动量	$\vec{p} = m\vec{v}$	质量与速度的乘积
冲量	$\vec{I} = \int \vec{F}\,dt$	力对时间的累积
动量定理	$\vec{I} = \Delta\vec{p}$	冲量等于动量变化
动量守恒	$\sum \vec{p} = \text{const}$	合外力为零时
完全非弹性碰撞	$v_f = \dfrac{m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i}}{m_1 + m_2}$	碰后共同速度

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例题与详解

例题 1：子弹射入连接弹簧的物体系统

题目：质量为 $m_1 = 0.790$ kg 和 $m_2 = 0.800$ kg 的物体以劲度系数 $k = 10$ N/m 的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上。最初弹簧自由伸张。质量 $m_0 = 0.01$ kg 的子弹以速率 $v_0 = 100$ m/s 沿水平方向射入 $m_1$ 内，问弹簧最多压缩了多少？

整体分析

这道题表面上是子弹打木块，实际上是一个两阶段问题——两个阶段对应两个不同的守恒定律。

第一阶段是子弹射入 $m_1$，时间极短，弹簧来不及形变。这个阶段的关键词是「瞬间」——弹簧力还没来得及起作用，系统在水平方向不受外力，所以动量守恒。而且子弹嵌入 $m_1$ 是完全非弹性碰撞，两者获得共同速度。

第二阶段是弹簧压缩到最大。$m_1$（含子弹）有了速度，开始压缩弹簧，$m_2$ 也被推着走。当弹簧压缩最大时，$m_1$ 和 $m_2$ 的速度相同（如果速度不同，弹簧还会继续压缩或伸长）。这个阶段没有能量损失（碰撞已经结束），机械能守恒。

识别「阶段」是处理复杂问题的核心能力：找守恒量时，先问「这一阶段什么守恒？为什么？」

详解

第一阶段：子弹射入 $m_1$（动量守恒）

子弹射入的瞬间，弹簧还保持原长，对 $m_1$ 没有力的作用。所以水平方向没有外力，动量守恒成立。而且子弹嵌入 $m_1$ 后两者一起运动——这是完全非弹性碰撞，碰后速度相同。

设子弹嵌入后 $m_1$（含子弹）的速度为 $v_1$：

$$m_0 v_0 = (m_0 + m_1) v_1$$

$$v_1 = \frac{m_0 v_0}{m_0 + m_1} = \frac{0.01 \times 100}{0.01 + 0.790} = \frac{1}{0.8} = 1.25 \text{ m/s}$$

此时 $m_2$ 还静止，弹簧还没动。系统状态是：$m_0 + m_1$ 以 1.25 m/s 运动，$m_2$ 静止，弹簧原长。

第二阶段：弹簧压缩到最大（机械能守恒）

弹簧压缩过程中，没有碰撞、没有摩擦（光滑桌面），只有保守力（弹力）做功，机械能守恒。

弹簧压缩最大时，$m_1$（含子弹）和 $m_2$ 的速度必须相同。为什么？因为如果 $m_1$ 还比 $m_2$ 快，弹簧会继续被压缩；如果 $m_1$ 比 $m_2$ 慢，弹簧已经开始回弹了。所以压缩最大的那一刻，两者「同步」。

设压缩最大时的共同速度为 $v_f$，压缩量为 $x$。动量守恒（整个过程水平方向无外力）：

$$(m_0 + m_1) v_1 = (m_0 + m_1 + m_2) v_f$$

$$v_f = \frac{0.8 \times 1.25}{0.8 + 0.8} = \frac{1}{1.6} = 0.625 \text{ m/s}$$

机械能守恒（初始动能 = 最终动能 + 弹性势能）：

$$\frac{1}{2}(m_0 + m_1)v_1^2 = \frac{1}{2}(m_0 + m_1 + m_2)v_f^2 + \frac{1}{2}kx^2$$

$$\frac{1}{2} \times 0.8 \times 1.25^2 = \frac{1}{2} \times 1.6 \times 0.625^2 + \frac{1}{2} \times 10 \times x^2$$

$$0.625 = 0.3125 + 5x^2$$

$$5x^2 = 0.3125 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 0.0625$$

$$x = 0.25 \text{ m}$$

直觉检验：弹簧劲度系数只有 10 N/m（很软），0.25 m 的压缩量对应弹力 $F = kx = 2.5$ N。系统总质量 1.6 kg、速度 0.625 m/s，动能约 0.31 J，弹性势能 $\frac{1}{2} \times 10 \times 0.0625 = 0.31$ J——能量守恒验证通过。

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例题 2：子弹射入木块压缩弹簧

题目：一劲度系数为 $k$ 的轻质弹簧，右端固定，左端系一质量为 $M$ 的木块，静置在光滑水平面上。质量为 $m$ 的子弹以速度 $v_0$ 射入木块后，将弹簧压缩了 $L$。（1）求子弹入射前的速度 $v_0$；（2）若子弹射入木块的深度为 $s$，求子弹所受的平均阻力。

整体分析

这道题和例题 1 的结构完全一样——也是两阶段问题，但问法反过来了：不是求弹簧压缩量，而是反过来求子弹的初速度。而且第（2）问引入了一个新概念：子弹在木块中的「射入深度」和「平均阻力」。

第（1）问的核心思路和例题 1 一模一样：第一阶段动量守恒（子弹嵌入），第二阶段机械能守恒（弹簧压缩）。只是这次已知压缩量 $L$，反过来求 $v_0$。

第（2）问的物理图像是：子弹射入木块时，子弹和木块之间有摩擦力（阻力），这个力对子弹做负功，消耗子弹的动能。已知子弹在木块中穿行了距离 $s$，求这个力的平均值。这里用动能定理最直接。

详解

（1）子弹入射前的速度

第一阶段（子弹嵌入，动量守恒）：

$$mv_0 = (m + M)v_1$$

$$v_1 = \frac{mv_0}{m + M}$$

第二阶段（弹簧压缩最大，机械能守恒）：

压缩最大时 $m$ 和 $M$ 速度相同（理由同例题 1）。这里有一个简化：弹簧另一端固定，压缩最大时两者速度都为零——因为弹簧最终会把所有动能转化为势能，然后反弹。等一下，这不对。

关键纠正：弹簧右端固定，但左端的木块（含子弹）是自由的。压缩最大时，木块速度为零（所有动能转化为弹性势能），然后弹簧会把它推回来。所以：

$$\frac{1}{2}(m + M)v_1^2 = \frac{1}{2}kL^2$$

$$\frac{1}{2}(m + M)\left(\frac{mv_0}{m + M}\right)^2 = \frac{1}{2}kL^2$$

$$\frac{m^2 v_0^2}{m + M} = kL^2$$

$$v_0 = \frac{L}{m}\sqrt{k(m + M)}$$

直觉检验：如果 $m \ll M$（子弹很轻），$v_0$ 会很大——这合理，因为轻子弹需要很大的速度才能携带足够的动量。如果 $k$ 很大（硬弹簧），$v_0$ 也很大——硬弹簧需要更多的能量才能压缩 $L$。

（2）子弹所受的平均阻力

这道小题容易犯一个经典错误：对子弹单独用动能定理 $-f \cdot s = \frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$。问题在于，动能定理中的位移是对施力物体（木块）的位移而言的，而 $s$ 是子弹相对于木块的穿透深度，不是子弹对地的位移。子弹对地走了多远？不知道。所以这条路走不通。

正确的思路是换一个视角——不看单个物体，而看整个系统的能量去向。

从子弹射入前到弹簧压缩最大的整个过程中，系统的初始能量是子弹的动能 $\frac{1}{2}mv_0^2$，最终能量是弹簧的弹性势能 $\frac{1}{2}kL^2$。两者之差就是碰撞过程中被摩擦力「吃掉」的能量——变成了热和形变：

$$\frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{1}{2}kL^2 = f \cdot s$$

为什么摩擦力做的功恰好等于 $f \cdot s$？因为子弹对木块的摩擦力做了正功（推木块），木块对子弹的摩擦力做了负功（阻子弹），两者的总效果等于力乘以相对位移 $s$——这正是摩擦生热的标准公式。

$$f = \frac{mv_0^2 - kL^2}{2s}$$

代入第（1）问的结果 $v_0 = \frac{L}{m}\sqrt{k(m+M)}$：

$$f = \frac{k(m+M) - kL^2}{2s} = \frac{k(m+M) - kL^2}{2s}$$

等等，化简更直接的做法是注意到 $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{k(m+M)L^2}{2m}$，所以：

$$f = \frac{1}{2s}\left(\frac{k(m+M)L^2}{m} - kL^2\right) = \frac{kL^2}{2s}\left(\frac{m+M}{m} - 1\right) = \frac{kML^2}{2ms}$$

物理图像：这个结果很优雅——$f$ 只取决于弹簧劲度系数 $k$、木块质量 $M$、压缩量 $L$、穿透深度 $s$ 和子弹质量 $m$，不需要知道子弹的初速度。直觉上：$M$ 越大（木块越重），子弹嵌入时「撞」得越狠，需要的阻力越大；$s$ 越深，阻力越小（同样的减速过程，作用距离越长，力越小）。

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第三章 刚体力学

本章定位：刚体是「不可形变的质点系」，其运动可分解为质心的平动和绕质心的转动。本章将质点动力学的框架推广到转动，建立平行于平动的整套「转动量」体系。

章节目标

• 理解刚体定轴转动的运动学描述（角量体系）
• 掌握转动惯量的概念及其计算方法（含平行轴定理）
• 理解转动定律 $M = I\alpha$，掌握力矩与角加速度的关系
• 掌握角动量的概念和角动量守恒定律
• 理解转动动能，能处理含有转动的能量守恒问题

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3.1 刚体运动学

概念讲解

前两章把物体当作质点——有质量但没有大小的理想化模型。但现实中，门在绕轴转动时，门上各点的运动状态并不相同：靠近铰链的点转得慢，远离铰链的点转得快。这时候，把门当作一个点来描述就不够了。

刚体是质点模型的下一步推广：它有大小、有形状，但任意两点之间的距离永远不变——不会拉伸、弯曲或压缩。现实中没有完美的刚体，但如果形变小到可以忽略（比如旋转的飞轮、摆动的钟摆），就可以用刚体模型来处理。

直觉类比：刚体就像一块铁板——你可以移动它、转动它，但它不会被揉成一团。铁板上任意两个铆钉之间的距离，不管怎么运动都不会变。

刚体运动的分类

刚体的运动可以分解为两种基本运动的叠加：

运动类型	特征	例子
平动	刚体上所有点的运动轨迹完全相同（平行移动）	电梯升降
定轴转动	刚体上所有点绕同一固定轴做圆周运动	门的开合
平面运动	平动 + 转动的叠加	纯滚动的球

本章重点讨论定轴转动——这是最简单也最常见的转动形式。

定轴转动的角量描述

定轴转动中，刚体上所有点绕同一轴转过的角度相同，因此用角量（角度、角速度、角加速度）来描述整个刚体的运动，比逐点描述线量方便得多。

类比直线运动的线量，角量的定义完全平行：

角位移 $\theta$：刚体转过的角度（单位：rad）

角速度：

$$\omega = \frac{d\theta}{dt}$$

角速度描述转动的快慢和方向（顺时针 / 逆时针）。

角加速度：

$$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}$$

角加速度描述角速度变化的快慢。

角量与线量的关系

刚体上距转轴 $r$ 的点，其线量与角量的关系为：

$$v = r\omega, \quad a_t = r\alpha, \quad a_n = r\omega^2$$

这就是为什么门边上比门轴附近转得快：$\omega$ 相同，但 $r$ 更大，所以 $v = r\omega$ 更大。

匀变速转动

当 $\alpha$ 为常量时，角量公式与匀变速直线运动完全类比：

$$\omega = \omega_0 + \alpha t$$

$$\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$$

$$\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$$

符号说明

符号	含义	单位
$\theta$	角位移	rad
$\omega$	角速度	rad/s
$\alpha$	角加速度	rad/s²
$r$	到转轴的距离	m
$v$	线速度	m/s
$a_t$	切向加速度	m/s²
$a_n$	法向加速度	m/s²

应用场景

电风扇从静止启动，经过 3 秒达到额定转速 300 rpm（即 $\omega = 10\pi$ rad/s）。角加速度 $\alpha = \omega / t \approx 10.5$ rad/s²。叶片尖端（$r = 0.3$ m）的线速度 $v = r\omega \approx 9.4$ m/s，法向加速度 $a_n = r\omega^2 \approx 296$ m/s²——约为 30 个 $g$，这就是为什么叶片尖端必须做得很坚固。

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3.2 转动惯量

概念讲解

在平动中，牛顿第二定律 $\vec{F} = m\vec{a}$ 告诉我们：质量 $m$ 是物体抵抗加速的量度——同样的力，质量越大，加速度越小。

在转动中，对应的角色由转动惯量 $I$ 扮演。转动定律的形式为 $M = I\alpha$：同样的力矩，转动惯量越大，角加速度越小。

直觉类比：推一扇门时，门的质量分布影响你推的难易程度。如果门的质量集中在靠近铰链的地方（$I$ 小），很容易推开；如果质量集中在远离铰链的门边（$I$ 大），就很难推开。转动惯量不仅取决于质量大小，还取决于质量相对于转轴的分布。

核心公式

转动惯量的定义（对连续物体）：

$$I = \int r^2\,dm$$

其中 $r$ 是质量元 $dm$ 到转轴的垂直距离。这个积分告诉我们：离轴越远的质量，对转动惯量的贡献越大（因为是 $r^2$）。

常见几何体的转动惯量（转轴通过质心）：

物体	转轴位置	$I$
细杆（长 $L$）	过中心，垂直于杆	$\frac{1}{12}ML^2$
细杆（长 $L$）	过一端，垂直于杆	$\frac{1}{3}ML^2$
圆盘 / 圆柱（半径 $R$）	沿中心轴	$\frac{1}{2}MR^2$
细圆环（半径 $R$）	沿中心轴	$MR^2$
球体（半径 $R$）	沿直径	$\frac{2}{5}MR^2$
薄球壳（半径 $R$）	沿直径	$\frac{2}{3}MR^2$

平行轴定理

上面的公式给出的是转轴通过质心时的转动惯量。如果转轴平移了一段距离 $d$，转动惯量会增大：

$$I = I_c + Md^2$$

其中 $I_c$ 是过质心的转动惯量，$M$ 是总质量，$d$ 是两平行轴之间的距离。

为什么？ 质量元离轴的距离变成 $r^2 = r_c^2 + d^2 + 2r_c d\cos\phi$（$r_c$ 是到质心轴的距离）。积分后，交叉项为零（质心的定义），只剩下 $I_c + Md^2$。

应用：细杆过一端的转动惯量 $= \frac{1}{12}ML^2 + M\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{1}{3}ML^2$，与直接积分的结果一致。

符号说明

符号	含义	单位
$I$	转动惯量	kg·m²
$I_c$	过质心轴的转动惯量	kg·m²
$M$	总质量	kg
$d$	平行轴间距	m
$r$	质量元到转轴的距离	m

应用场景

花样滑冰运动员旋转时，先张开双臂（$I$ 大，$\omega$ 小），然后迅速收拢手臂（$I$ 减小，$\omega$ 增大），转速急剧加快。这就是平行轴定理的直观体现——把质量从远处移到近处，转动惯量减小。

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3.3 力矩与转动定律

概念讲解

在平动中，力改变物体的运动状态（$\vec{F} = m\vec{a}$）。在转动中，力矩改变刚体的转动状态。

直觉类比：推门时，力的大小不是唯一因素——你推的位置和方向同样重要。推门轴附近（$r$ 小）很难推动；推门边（$r$ 大）很轻松。沿着门的方向推（力指向轴）也不会让门转动。力矩综合了力的大小、作用点到轴的距离、以及力的方向三个因素。

核心公式

力矩的定义（矢量形式）：

$$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$$

力矩的大小：

$$M = rF\sin\theta$$

其中 $\theta$ 是 $\vec{r}$ 与 $\vec{F}$ 之间的夹角，$r\sin\theta$ 是力臂——转轴到力的作用线的垂直距离。

力矩的方向由右手定则确定：沿转轴方向，垂直于 $\vec{r}$ 和 $\vec{F}$ 所在的平面。

转动定律（定轴转动）：

$$M = I\alpha$$

这是牛顿第二定律在转动中的直接类比：

平动	转动
力 $\vec{F}$	力矩 $M$
质量 $m$	转动惯量 $I$
加速度 $\vec{a}$	角加速度 $\alpha$
$\vec{F} = m\vec{a}$	$M = I\alpha$

符号说明

符号	含义	单位
$\vec{M}$ / $M$	力矩	N·m
$\vec{r}$	从转轴到力的作用点的位矢	m
$\vec{F}$	力	N
$\theta$	$\vec{r}$ 与 $\vec{F}$ 的夹角	°
$I$	转动惯量	kg·m²
$\alpha$	角加速度	rad/s²

应用场景

一个质量为 $M$、半径为 $R$ 的定滑轮（可视为圆盘，$I = \frac{1}{2}MR^2$），绳两端挂质量 $m_1 > m_2$ 的物体。对滑轮用 $M = I\alpha$，对两个物体分别用 $F = ma$，再用约束条件 $a = R\alpha$ 联立，即可求出加速度和绳中张力。这比高中方法（假设滑轮无质量）更精确。

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3.4 角动量与角动量守恒

概念讲解

在平动中，动量 $\vec{p} = m\vec{v}$ 是守恒量（合外力为零时守恒）。在转动中，对应的守恒量是角动量 $\vec{L} = I\vec{\omega}$。

角动量描述的是「转动的惯性」——一个旋转的物体，如果没有外力矩作用，它会保持原有的角动量不变。

直觉类比：陀螺之所以能稳定旋转不倒，正是因为它的角动量守恒——外力矩（重力的作用线过支点时）为零，角动量的方向和大小都不变，陀螺就保持旋转轴的方向不变。这就是陀螺仪的原理，用在飞机、卫星的导航系统中。

核心公式

角动量（定轴转动）：

$$L = I\omega$$

角动量定理——力矩的冲量等于角动量的变化：

$$\int_{t_1}^{t_2} M\,dt = \Delta L = I\omega_2 - I\omega_1$$

角动量守恒定律：当刚体所受合外力矩为零时，角动量守恒：

$$L = I\omega = \text{const}$$

如果转动惯量 $I$ 改变（比如人收拢手臂），角速度 $\omega$ 会相应改变以保持 $I\omega$ 不变：

$$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$$

角动量守恒与动量守恒的对比：

守恒量	条件	守恒式
动量 $\vec{p}$	合外力为零	$\sum m\vec{v} = \text{const}$
角动量 $\vec{L}$	合外力矩为零	$\sum I\omega = \text{const}$

符号说明

符号	含义	单位
$\vec{L}$ / $L$	角动量	kg·m²/s
$I$	转动惯量	kg·m²
$\omega$	角速度	rad/s
$M$	力矩	N·m

应用场景

一个站在转台上的人，双臂伸平时转动惯量为 $I_1$，角速度为 $\omega_1$。收拢手臂后转动惯量变为 $I_2 < I_1$。由角动量守恒 $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$，角速度增大为 $\omega_2 = (I_1/I_2)\omega_1$。如果 $I_2 = I_1/2$，转速翻倍。

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3.5 转动动能与做功

概念讲解

平动物体有动能 $E_k = \frac{1}{2}mv^2$，转动物体同样有转动动能。这个能量来自力矩对刚体做的功。

直觉类比：飞轮储能就是利用转动动能。高速旋转的飞轮储存了大量能量，需要时可以释放出来。飞轮越重（$I$ 越大）、转得越快（$\omega$ 越大），储存的能量越多。

核心公式

转动动能：

$$E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$$

这与平动动能 $\frac{1}{2}mv^2$ 完全类比：$m \to I$，$v \to \omega$。

力矩做功（力矩在角位移上做的功）：

$$W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M\,d\theta$$

恒力矩做功：$W = M\,\Delta\theta$

转动动能定理：

$$W_{net} = \Delta E_k = \frac{1}{2}I\omega_2^2 - \frac{1}{2}I\omega_1^2$$

含转动的机械能守恒：当只有保守力做功时（如物体在重力场中滚动），总机械能守恒：

$$\frac{1}{2}mv_c^2 + \frac{1}{2}I_c\omega^2 + mgh = \text{const}$$

其中第一项是质心的平动动能，第二项是绕质心的转动动能，第三项是重力势能。

纯滚动条件：物体在地面上无滑动地滚动时：

$$v_c = R\omega$$

平动-转动对照表

平动	转动
质量 $m$	转动惯量 $I$
速度 $v$	角速度 $\omega$
动能 $\frac{1}{2}mv^2$	转动动能 $\frac{1}{2}I\omega^2$
力 $F$	力矩 $M$
功 $W = \int F\,dx$	力矩做功 $W = \int M\,d\theta$
动量 $p = mv$	角动量 $L = I\omega$
$F = ma$	$M = I\alpha$
动量守恒（$\sum F = 0$）	角动量守恒（$\sum M = 0$）

符号说明

符号	含义	单位
$E_k$	转动动能	J
$I$	转动惯量	kg·m²
$\omega$	角速度	rad/s
$M$	力矩	N·m
$v_c$	质心速度	m/s
$R$	滚动半径	m

应用场景

一个球从高度 $h$ 的斜面顶端无滑动地滚下。到达底部时，重力势能转化为平动动能和转动动能：

$$mgh = \frac{1}{2}mv_c^2 + \frac{1}{2}I_c\omega^2$$

纯滚动条件 $v_c = R\omega$，代入球的转动惯量 $I_c = \frac{2}{5}mR^2$，解得：

$$v_c = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$$

注意这比无摩擦时的 $v = \sqrt{2gh}$ 要小——因为一部分能量「分」给了转动动能。

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本章常用公式表

类别	公式	说明
角速度	$\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$	角位移对时间求导
角加速度	$\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$	角速度对时间求导
角量-线量	$v = r\omega$，$a_t = r\alpha$，$a_n = r\omega^2$	圆周运动中的换算
转动惯量	$I = \displaystyle\int r^2\,dm$	质量分布的量度
平行轴定理	$I = I_c + Md^2$	转轴平移时的公式
力矩	$M = rF\sin\theta$	力对转轴的转动效果
转动定律	$M = I\alpha$	转动中的牛顿第二定律
角动量	$L = I\omega$	转动的「惯性」
角动量定理	$\displaystyle\int M\,dt = \Delta L$	力矩的冲量等于角动量变化
角动量守恒	$L = I\omega = \text{const}$	合外力矩为零时
转动动能	$E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$	转动的能量
力矩做功	$W = \displaystyle\int M\,d\theta$	力矩在角位移上的累积
纯滚动条件	$v_c = R\omega$	无滑动滚动的约束
滚动动能	$E_k = \frac{1}{2}mv_c^2 + \frac{1}{2}I_c\omega^2$	平动 + 转动

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第四章 简谐振动

本章定位：简谐振动是物体在线性回复力作用下的周期运动。它是波动的基础，也是处理分子振动等问题的必备工具。本章从动力学方程出发，用解析法描述振动，再从能量角度分析振动系统的特征。

章节目标

• 理解简谐振动的动力学本质：回复力 $F = -kx$
• 掌握简谐振动的运动方程及其三个特征量（振幅、角频率、初相位）
• 能用旋转矢量法直观理解振动的相位关系
• 掌握简谐振动的能量特征和合成方法
• 了解阻尼振动和受迫振动的基本概念（知道共振现象）

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4.1 简谐振动的动力学方程

概念讲解

生活中充满了往复运动：钟摆左右摆动、弹簧上的物体上下跳动、琴弦的振动……这些运动有一个共同特征——物体总是在某个平衡位置附近来回运动，而且受到一个始终指向平衡位置的力。

回复力是让物体回到平衡位置的力。最简单的情况是回复力与位移成正比、方向相反——这就是线性回复力：

$$F = -kx$$

其中 $x$ 是偏离平衡位置的位移，$k$ 是常数，负号表示力的方向与位移方向相反（总是拉回平衡位置）。

在这样的力作用下，物体做简谐振动（Simple Harmonic Motion, SHM）。它是所有周期运动中最基本、最简单的一种。

从弹簧振子出发推导

弹簧振子是最典型的简谐振动系统：一个质量为 $m$ 的物体连接在劲度系数为 $k$ 的弹簧上，放在光滑水平面上。

由牛顿第二定律和胡克定律：

$$F = -kx = ma$$

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

$$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$$

令 $\omega^2 = \dfrac{k}{m}$，方程变为：

$$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$$

这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，它的通解为：

$$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$$

这就是简谐振动的运动方程。其中：

• $A$ 是振幅——偏离平衡位置的最大距离
• $\omega$ 是角频率——振动快慢的量度
• $\varphi$ 是初相位——决定 $t=0$ 时刻振动的状态

单摆（小角度近似）

单摆也是简谐振动的经典例子。摆长为 $l$ 的单摆，当摆角 $\theta$ 很小时（$\theta < 5°$），回复力矩近似与角位移成正比：

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\theta = 0$$

角频率为 $\omega = \sqrt{\dfrac{g}{l}}$，周期 $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$——与摆球质量无关，只取决于摆长和重力加速度。

符号说明

符号	含义	单位
$x$	偏离平衡位置的位移	m
$F$	回复力	N
$k$	劲度系数（或等效劲度系数）	N/m
$m$	振动质量	kg
$\omega$	角频率	rad/s
$A$	振幅	m
$\varphi$	初相位	rad
$l$	摆长	m
$g$	重力加速度	m/s²

应用场景

判断一个系统是否做简谐振动，关键是看回复力是否满足 $F = -kx$ 的形式。不只是弹簧，任何满足此条件的系统都做简谐振动——比如浮在水面上上下浮动的木块、LC 电路中的电磁振荡等。

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4.2 描述振动的物理量

概念讲解

运动方程 $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ 中有三个关键参数，它们共同决定了振动的全部特征。

振幅 $A$

振幅是振动体偏离平衡位置的最大距离，即 $|x|_{max} = A$。它由初始条件（初位移和初速度）决定，反映了振动的「强度」。

周期 $T$ 与频率 $f$

周期 $T$：完成一次完整振动所需的时间（单位：s）。

频率 $f$：单位时间内完成的振动次数（单位：Hz）。

$$f = \frac{1}{T}$$

角频率 $\omega$ 与它们的关系：

$$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$

对于弹簧振子：$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$——质量越大、弹簧越软，周期越长（振动越慢）。

相位与初相位

相位 $(\omega t + \varphi)$ 决定了振动在某一时刻的「状态」——物体此刻在什么位置、向什么方向运动。

直觉类比：想象一个时钟的秒针在转。相位就是秒针此刻指向的角度。知道了相位，就知道秒针在哪个位置、往哪个方向转。

初相位 $\varphi$ 是 $t=0$ 时刻的相位，它取决于你选取的计时起点。同一个振动，选取不同的计时起点，初相位不同，但振幅和角频率不变。

由初始条件确定 $A$ 和 $\varphi$

已知 $t=0$ 时的位移 $x_0$ 和速度 $v_0$：

$$A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}$$

$$\tan\varphi = -\frac{v_0}{\omega x_0}$$

（具体象限由 $x_0$ 和 $v_0$ 的符号共同确定）

速度与加速度

对运动方程求导：

$$v = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$$

$$a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x$$

注意：加速度与位移成正比、方向相反——这正是简谐振动的动力学特征。

符号说明

符号	含义	单位
$A$	振幅	m
$T$	周期	s
$f$	频率	Hz
$\omega$	角频率	rad/s
$\omega t + \varphi$	相位	rad
$\varphi$	初相位	rad
$x_0$	初始位移	m
$v_0$	初始速度	m/s

应用场景

两个振动的相位差 $\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1$ 决定了它们的「步调」关系：

• $\Delta\varphi = 0$：同相，同时到达最大位移
• $\Delta\varphi = \pi$：反相，一个在正最大时另一个在负最大
• $\Delta\varphi = \pi/2$：一个在平衡位置时，另一个在最大位移处

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4.3 旋转矢量法

概念讲解

简谐振动的数学表达 $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ 看起来抽象，但可以用一个非常直观的几何图像来理解——旋转矢量法。

想象一个长度为 $A$ 的矢量，从原点出发，以角速度 $\omega$ 逆时针匀速旋转。这个矢量在 $x$ 轴上的投影，就是简谐振动：

$$x = A\cos(\omega t + \varphi)$$

这个旋转矢量也叫参考圆上的矢量。它的物理意义：

• 矢量长度 $=$ 振幅 $A$
• 旋转角速度 $=$ 振动角频率 $\omega$
• 矢量与 $x$ 轴的夹角 $=$ 相位 $(\omega t + \varphi)$
• 矢量端点在 $x$ 轴上的投影 $=$ 振动位移 $x$

旋转矢量法的优势

用旋转矢量法能直观看出的	对应关系
矢量越长	振幅越大
旋转越快	频率越高
两个矢量的夹角	两振动的相位差
矢量在 $x$ 轴下方	位移为负
矢量端点的水平速度分量	振动速度

应用：两个同频率简谐振动的合成，用旋转矢量法非常方便——两个矢量的合矢量就是合成振动的旋转矢量，长度和角度可以直接用几何方法求出。

符号说明

符号	含义	单位
$A$	旋转矢量的长度（= 振幅）	m
$\omega$	旋转角速度（= 角频率）	rad/s
$\varphi$	初始角度（= 初相位）	rad

应用场景

判断两个振动谁「领先」：在旋转矢量图上，相位大的矢量转在前面，它对应的振动「领先」于另一个。如果领先 $\pi$，两者反相——一个在最高点时另一个在最低点。

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4.4 简谐振动的能量

概念讲解

简谐振动过程中，物体的动能和势能不断相互转换，但总机械能守恒（没有耗散力时）。

直觉类比：荡秋千时，在最高点速度为零（动能为零），势能最大；在最低点速度最大（动能最大），势能为零。能量在动能和势能之间来回「搬运」，但总量不变。

核心公式

动能：

$$E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2\sin^2(\omega t + \varphi)$$

势能（弹簧振子）：

$$E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t + \varphi)$$

总能量：

$$E = E_k + E_p = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$$

总能量与振幅的平方成正比——振幅加倍，能量变为四倍。

能量随时间的变化

时刻	位移	速度	动能	势能
$x = A$（最大位移）	最大	零	零	最大
$x = 0$（平衡位置）	零	最大	最大	零
任意时刻	$A\cos\theta$	$-A\omega\sin\theta$	$\frac{1}{2}kA^2\sin^2\theta$	$\frac{1}{2}kA^2\cos^2\theta$

其中 $\theta = \omega t + \varphi$。

动能和势能的变化频率是振动频率的两倍（因为 $\sin^2$ 和 $\cos^2$ 的周期是原函数的一半）。

平均动能 = 平均势能：

$$\bar{E_k} = \bar{E_p} = \frac{1}{2}E = \frac{1}{4}kA^2$$

符号说明

符号	含义	单位
$E_k$	动能	J
$E_p$	势能	J
$E$	总机械能	J
$k$	劲度系数	N/m
$A$	振幅	m
$\omega$	角频率	rad/s

应用场景

用能量法可以避开微分方程，直接求解某些问题。例如：已知振幅和质量，可以直接算出最大速度 $v_{max} = A\omega$ 和最大回复力 $F_{max} = kA$，无需知道具体的运动过程。

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4.5 振动的合成

概念讲解

当一个物体同时参与两个振动时，它的实际运动是两个振动的叠加。这是波动干涉、声学拍频等现象的基础。

同方向、同频率的合成

两个同方向、同频率的简谐振动：

$$x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1), \quad x_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$$

合成结果仍然是同频率的简谐振动：

$$x = x_1 + x_2 = A\cos(\omega t + \varphi)$$

其中合振幅和合初相位为：

$$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)}$$

$$\tan\varphi = \frac{A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2}$$

特殊情况：

相位差 $\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1$	合振幅	效果
$0$（同相）	$A_1 + A_2$	完全加强
$\pi$（反相）	$	A_1 - A_2
其他值	介于两者之间	部分加强

同方向、不同频率的合成——拍

两个频率相近的振动叠加，会产生拍现象：振幅忽大忽小地周期性变化。

$$x_1 = A\cos\omega_1 t, \quad x_2 = A\cos\omega_2 t$$

$$x = 2A\cos\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right)$$

拍频（振幅变化的频率）：

$$f_{beat} = |f_1 - f_2|$$

直觉类比：调吉他弦时，两个频率接近的音会产生「呜——呜——」的忽强忽弱的声音，这就是拍。当拍频变慢到零时，两根弦的频率就完全一致了。

相互垂直振动的合成

两个频率相同但振动方向互相垂直的简谐振动叠加，轨迹一般是椭圆（特殊情况为圆或直线）。频率不同时，轨迹为李萨如图形——形状取决于频率比和相位差。

符号说明

符号	含义	单位
$A$	合振幅	m
$A_1,\ A_2$	分振动振幅	m
$\varphi_1,\ \varphi_2$	分振动初相位	rad
$\Delta\varphi$	相位差	rad
$f_{beat}$	拍频	Hz

应用场景

光学中的干涉：两束相干光叠加时，相位差决定了明暗条纹的位置。相位差为 $2\pi$ 的整数倍时加强（亮纹），为 $\pi$ 的奇数倍时减弱（暗纹）——这与同方向振动合成的结论完全一致。

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4.6 阻尼振动与受迫振动

概念讲解

前面讨论的简谐振动是理想情况——没有能量损失，永远振动下去。现实中，摩擦、空气阻力等耗散力总是存在的，振动会逐渐衰减，这就是阻尼振动。

阻尼振动

振动体受到与速度成正比的阻力 $F_{damp} = -\gamma v$（$\gamma$ 为阻尼系数）时，运动方程变为：

$$m\frac{d^2x}{dt^2} + \gamma\frac{dx}{dt} + kx = 0$$

解的形式取决于阻尼的大小：

阻尼程度	条件	运动特征
欠阻尼	$\gamma < 2\sqrt{km}$	振幅指数衰减的振动（最常见）
临界阻尼	$\gamma = 2\sqrt{km}$	最快回到平衡位置，不振动
过阻尼	$\gamma > 2\sqrt{km}$	缓慢回到平衡位置，不振动

直觉类比：门上的闭门器就是利用临界阻尼——门能尽快关上又不会撞到门框。

受迫振动与共振

如果在阻尼振动系统上施加一个周期性外力（驱动力），系统会做受迫振动。

驱动力 $F = F_0\cos\omega_d t$（$\omega_d$ 为驱动频率），经过足够长时间后，系统以驱动频率做稳态振动，振幅为：

$$A = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega_d^2)^2 + (2\beta\omega_d)^2}}$$

其中 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ 是系统的固有频率，$\beta = \gamma/(2m)$ 是阻尼因子。

共振：当驱动频率接近系统的固有频率（$\omega_d \approx \omega_0$）时，振幅达到最大值。

直觉类比：推秋千时，如果每次都恰好在秋千到达最高点时推一下（驱动频率 = 固有频率），秋千会越荡越高——这就是共振。如果推的节奏不对，效果就很差。

共振可以是有用的（收音机调谐、乐器共鸣），也可以是危险的（桥梁因风共振而坍塌、士兵齐步走过桥导致共振）。

符号说明

符号	含义	单位
$\gamma$	阻尼系数	kg/s
$\beta$	阻尼因子 ($= \gamma/2m$)	1/s
$\omega_0$	固有角频率	rad/s
$\omega_d$	驱动角频率	rad/s
$F_0$	驱动力幅值	N
$A$	稳态振幅	m

应用场景

1940 年美国塔科马海峡大桥在风力驱动下发生共振而坍塌，成为工程史上著名的教训。此后桥梁设计中必须考虑风致振动和共振问题。

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本章常用公式表

类别	公式	说明
运动方程	$x = A\cos(\omega t + \varphi)$	简谐振动的标准形式
速度	$v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$	位移对时间求导
加速度	$a = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x$	与位移成正比、反向
弹簧振子角频率	$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$	由系统参数决定
单摆角频率	$\omega = \sqrt{\dfrac{g}{l}}$	小角度近似
周期	$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$	一次完整振动的时间
频率	$f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}$	单位时间振动次数
振幅（初始条件）	$A = \sqrt{x_0^2 + v_0^2/\omega^2}$	由初位移和初速度确定
动能	$E_k = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2\sin^2(\omega t + \varphi)$	周期性变化
势能	$E_p = \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t + \varphi)$	周期性变化
总能量	$E = \frac{1}{2}kA^2$	与振幅平方成正比
同向同频合成振幅	$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi}$	取决于相位差
拍频	$f_{beat} =	f_1 - f_2
共振条件	$\omega_d \approx \omega_0$	驱动频率接近固有频率

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第五章 波动

本章定位：振动的传播形成波动。本章从简谐振动出发，建立机械波的数学描述，讨论波的叠加、干涉和驻波等核心现象。波动是声学、光学和量子力学的基础。

章节目标

• 理解机械波的产生条件和传播机制（横波与纵波）
• 掌握平面简谐波的波函数及其物理意义
• 理解波的能量特征（能量密度、能流密度）
• 掌握波的叠加原理、干涉条件和驻波的形成
• 了解多普勒效应的原理

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5.1 机械波的产生与传播

概念讲解

上一章我们学习了单个物体的振动。但振动不会孤立存在——当你拨动一根琴弦时，弦的振动带动周围空气分子振动，空气分子又带动更远处的分子……振动就这样一层一层向外传播出去，形成了波。

直觉类比：往平静的水面丢一颗石子，水面上会形成一圈圈向外扩散的涟漪。水分子本身并没有随波纹跑向远方——它们只是在原地上下振动。波传播的是振动的状态和能量，而不是物质本身。

波的产生条件

产生机械波需要两个条件：

1. 波源：产生振动的物体（如琴弦、声带）
2. 弹性介质：能够传递振动的物质（如空气、水、绳子）

真空中不能传播机械波（因为没有介质），但电磁波（光、无线电波）不需要介质，可以在真空中传播。

横波与纵波

类型	振动方向与传播方向的关系	典型例子	特征
横波	垂直	绳上的波、电磁波	有波峰和波谷
纵波	平行	声波、弹簧波	有密部和疏部

声波在空气中是纵波——空气分子沿声波传播方向前后振动，形成交替的密部和疏部。水面波看起来是上下起伏（横波），实际上水分子做的是圆周运动，是横波和纵波的混合。

波面与波线

• 波面：同一时刻振动状态相同的各点连成的面
• 波前：最前面的波面
• 波线：沿波的传播方向的线，与波面垂直

在各向同性均匀介质中，点波源产生球面波（波面为同心球面），离波源很远处可近似为平面波（波面为平面）。

符号说明

符号	含义
波源	产生振动的物体
弹性介质	传递振动的物质
波面	同相位各点组成的面
波线	波的传播方向

应用场景

地震波就是典型的机械波：P 波（纵波）传播速度快，先到达；S 波（横波）速度慢，后到达。通过两者到达的时间差，可以估算震源距离。

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5.2 描述波的物理量

概念讲解

描述一个波，需要知道它「多长」「多快」「多强」。这由几个关键物理量来刻画。

波长 $\lambda$

沿波的传播方向，相邻两个同相位点之间的距离称为波长。横波中是相邻波峰（或波谷）之间的距离，纵波中是相邻密部（或疏部）中心之间的距离。

波长描述的是波在空间上的周期性。

周期 $T$ 与频率 $f$

• 周期 $T$：波前进一个波长所需的时间，也就是波源完成一次振动的时间
• 频率 $f$：单位时间内通过某点的完整波的个数，$f = 1/T$

它们描述的是波在时间上的周期性。

波速 $u$

波速是振动状态（相位）传播的速度，也叫相速度：

$$u = \frac{\lambda}{T} = \lambda f$$

关键区别：波速 $u$ 是波形传播的速度（由介质决定），质点振动速度 $v$ 是介质中各点在原地振动的速度（由波源决定）。两者完全不同。

波速与介质的关系

波速由介质的弹性性质和惯性性质决定，与波源无关：

波的类型	波速公式	说明
弦上的横波	$u = \sqrt{\dfrac{F}{\mu}}$	$F$ 为张力，$\mu$ 为线密度
固体中的纵波	$u = \sqrt{\dfrac{E}{\rho}}$	$E$ 为杨氏模量，$\rho$ 为密度
气体中的声波	$u = \sqrt{\dfrac{\gamma RT}{M}}$	$\gamma$ 为比热比，$M$ 为摩尔质量

这就是为什么声音在固体中传播最快（钢中约 5000 m/s），在气体中最慢（空气中约 340 m/s）——固体的弹性模量大、密度适中。

符号说明

符号	含义	单位
$\lambda$	波长	m
$T$	周期	s
$f$	频率	Hz
$u$	波速	m/s
$F$	张力	N
$\mu$	线密度	kg/m
$\rho$	介质密度	kg/m³

应用场景

吉他弦的音调由频率决定。弦越短（$\lambda$ 越小）或张力越大（$u$ 越大），频率越高，音调越高。调音旋钮拧紧弦就是增大张力，使音调升高。

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5.3 平面简谐波的波函数

概念讲解

如果波源做简谐振动，介质中各点也将做简谐振动——这样的波叫简谐波。它是最简单的波，也是分析复杂波的基础（任何波都可以分解为简谐波的叠加，即傅里叶分析）。

波函数 $y(x,t)$ 告诉我们：在任意位置 $x$、任意时刻 $t$，介质质点偏离平衡位置的位移 $y$ 是多少。

波函数的推导

设原点 $O$ 处质点的振动方程为：

$$y(0,t) = A\cos(\omega t + \varphi)$$

这个振动沿 $x$ 轴正方向传播，波速为 $u$。振动从原点传到位置 $x$ 需要时间 $\Delta t = x/u$，也就是说位置 $x$ 处的振动比原点落后了这段时间。

因此 $x$ 处的质点在 $t$ 时刻的状态，等于原点在 $(t - x/u)$ 时刻的状态：

$$y(x,t) = A\cos\left[\omega\left(t - \frac{x}{u}\right) + \varphi\right]$$

这就是沿 $x$ 轴正方向传播的平面简谐波的波函数。

若波沿 $x$ 轴负方向传播，将 $-x/u$ 改为 $+x/u$：

$$y(x,t) = A\cos\left[\omega\left(t + \frac{x}{u}\right) + \varphi\right]$$

波函数的等价形式

利用 $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$、$u = \lambda f$，定义波数 $k = 2\pi/\lambda$，波函数可以写成多种等价形式：

$$y = A\cos(\omega t - kx + \varphi)$$

$$y = A\cos\left(2\pi ft - \frac{2\pi}{\lambda}x + \varphi\right)$$

$$y = A\cos\left(2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) + \varphi\right)$$

波函数的物理意义

固定量	变化量	波函数描述的是
$x$	$t$	$x$ 处质点的振动方程（时间函数）
$t$	$x$	$t$ 时刻的波形（空间分布）
都变	—	波的完整传播过程

符号说明

符号	含义	单位
$y(x,t)$	波函数（位移）	m
$A$	振幅	m
$\omega$	角频率	rad/s
$k$	波数	rad/m
$\varphi$	初相位	rad
$u$	波速（相速度）	m/s

应用场景

已知波函数 $y = 0.02\cos(100\pi t - 2\pi x)$（SI），可以直接读出：振幅 $A = 0.02$ m，角频率 $\omega = 100\pi$ rad/s（频率 $f = 50$ Hz），波数 $k = 2\pi$ rad/m（波长 $\lambda = 1$ m），波速 $u = \lambda f = 50$ m/s。$x = 0.5$ m 处质点的振动方程为 $y = 0.02\cos(100\pi t - \pi)$。

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5.4 波的能量

概念讲解

波在介质中传播时，每个质点都在振动，因此具有动能；同时介质发生形变，具有弹性势能。波的能量就是这两种能量之和。

直觉类比：站在水波经过的地方，你能感受到水的推力——这就是波在传递能量。但水分子并没有随波流走，它们只是在原地做圆周运动。波传递的是能量，不是物质。

核心公式

能量密度（单位体积的能量）：

$$w = \rho A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t - kx)$$

其中 $\rho$ 是介质密度。能量密度随时间和位置周期性变化。

平均能量密度（一个周期内的平均值）：

$$\bar{w} = \frac{1}{2}\rho A^2 \omega^2$$

能流密度 / 波的强度（单位时间通过垂直于传播方向的单位面积的能量）：

$$I = \bar{w} \cdot u = \frac{1}{2}\rho A^2 \omega^2 u$$

波的强度与振幅的平方成正比。对于球面波，随着距离增大，能量分布在更大的球面上，强度按 $1/r^2$ 衰减，振幅按 $1/r$ 衰减。

符号说明

符号	含义	单位
$w$	能量密度	J/m³
$\bar{w}$	平均能量密度	J/m³
$I$	波的强度（能流密度）	W/m²
$\rho$	介质密度	kg/m³
$A$	振幅	m
$u$	波速	m/s

应用场景

声波的强度决定了声音的响度。声强每增大 10 倍，响度增加 1 个贝尔（或 10 分贝）。人耳能听到的最弱声音约为 $10^{-12}$ W/m²（听阈），痛感阈值约为 1 W/m²——两者相差 12 个数量级。

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5.5 波的叠加与干涉

概念讲解

当两列波在同一介质中传播并相遇时，会发生什么？答案是叠加——相遇处质点的位移等于各列波单独引起的位移的矢量和。相遇后，两列波各自继续传播，互不影响。

直觉类比：两个人同时向池塘里扔石头，各自产生一圈涟漪。两圈涟漪相遇时会叠加（有的地方波更高，有的地方几乎平静），但穿过彼此后，各自还是原来的涟漪。

叠加原理

当两列（或多列）波同时到达同一点时，该点的合位移等于各列波在该点引起的位移的矢量和：

$$\vec{y} = \vec{y}_1 + \vec{y}_2$$

叠加原理在线性介质（小振幅波）中成立。

相干条件与干涉

如果两列波满足以下相干条件，它们的叠加会产生稳定的加强和减弱 pattern（干涉图样）：

1. 频率相同
2. 振动方向相同（或有平行分量）
3. 相位差恒定

满足相干条件的两列波叫相干波。

干涉加强与减弱的条件

设两列相干波在某点引起的振动分别为：

$$y_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1), \quad y_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$$

该点的总相位差为：

$$\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 - \frac{2\pi(r_2 - r_1)}{\lambda}$$

其中 $(r_2 - r_1)$ 是两波源到该点的路程差。

条件	合振幅	效果
$\Delta\varphi = \pm 2k\pi$（$k=0,1,2,\ldots$）	$A_1 + A_2$	干涉加强（相长干涉）
$\Delta\varphi = \pm(2k+1)\pi$	$	A_1 - A_2

特殊情况：若两波源初相相同（$\varphi_1 = \varphi_2$），则相位差只取决于路程差：

$$\Delta\varphi = \frac{2\pi\delta}{\lambda}, \quad \delta = r_2 - r_1$$

• 路程差 $\delta = k\lambda$：加强
• 路程差 $\delta = (k + \frac{1}{2})\lambda$：减弱

符号说明

符号	含义	单位
$\Delta\varphi$	总相位差	rad
$\varphi_1,\ \varphi_2$	两波源的初相位	rad
$r_1,\ r_2$	两波源到观察点的距离	m
$\delta = r_2 - r_1$	路程差	m
$\lambda$	波长	m
$k$	整数（$0, 1, 2, \ldots$）	—

应用场景

噪声消除耳机利用的就是干涉原理。麦克风采集环境噪声后，耳机产生一列与噪声振幅相同、相位相反（$\Delta\varphi = \pi$）的声波，两列波叠加后相互抵消，实现降噪。

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5.6 驻波

概念讲解

当两列振幅相同、频率相同、传播方向相反的波叠加时，会产生一种特殊的干涉现象——驻波。

直觉类比：拉一根绳子，一端固定，你上下抖动另一端。入射波传到固定端后反射回来，与后续的入射波叠加，绳子上就会形成驻波——有些点始终不动（波节），有些点振幅最大（波腹），整根绳子看起来像是在「分段振动」。

驻波方程

设两列波分别为：

$$y_1 = A\cos(\omega t - kx), \quad y_2 = A\cos(\omega t + kx)$$

叠加后：

$$y = y_1 + y_2 = 2A\cos(kx)\cos(\omega t)$$

这就是驻波方程。它的特点是：

• $\cos(kx)$ 决定各点的振幅（空间分布）
• $\cos(\omega t)$ 决定各点的振动（时间变化）
• 各点都以相同频率振动，但振幅不同

波节与波腹

位置	条件	特征
波节	$\cos(kx) = 0$，即 $x = \dfrac{(2n+1)\lambda}{4}$	振幅始终为零，静止不动
波腹	$	\cos(kx)

相邻波节与波腹之间的距离为 $\lambda/4$，相邻两个波节（或波腹）之间的距离为 $\lambda/2$。

半波损失

当波从一种介质传到另一种介质的界面时，反射波可能发生半波损失——反射波在反射点的相位突变 $\pi$（相当于多走了半个波长）。

半波损失的条件：波从波疏介质传到波密介质时（如从绳子的自由端到固定端、从空气到固体表面），反射波发生半波损失。

结果：有半波损失时，反射点形成波节；无半波损失时，反射点形成波腹。

弦上的驻波与谐波

两端固定的弦上形成驻波时，弦长 $L$ 必须满足：

$$L = n\cdot\frac{\lambda_n}{2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots$$

对应的频率称为谐波：

$$f_n = n\cdot\frac{u}{2L} = n f_1$$

• $n = 1$：基频（基波），$f_1 = u/(2L)$
• $n = 2, 3, \ldots$：泛音（谐波）

这就是乐器的物理原理。吉他弦的音高由基频决定，音色由各泛音的相对强度决定。

符号说明

符号	含义	单位
$y$	驻波位移	m
$A$	入射波振幅	m
$2A$	波腹处的最大振幅	m
$k$	波数	rad/m
$\lambda$	波长	m
$L$	弦长	m
$f_n$	第 $n$ 次谐波频率	Hz
$f_1$	基频	Hz

应用场景

小提琴的四根弦长度相同，但粗细和张力不同，因此基频不同（G、D、A、E）。演奏者用手指按弦改变弦的有效长度，从而改变基频，奏出不同的音高。

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5.7 多普勒效应

概念讲解

当波源和观察者之间有相对运动时，观察者接收到的频率与波源发出的频率不同——这就是多普勒效应。

直觉类比：救护车迎面驶来时，你听到的警笛声频率偏高（音调高）；驶离时频率偏低（音调低）。这不是警笛本身变了，而是相对运动导致单位时间内接收到的波数发生了变化。

核心公式

设：

• $f$：波源发出的频率
• $f'$：观察者接收到的频率
• $u$：波在介质中的速度
• $v_o$：观察者相对于介质的速度（靠近波源为正）
• $v_s$：波源相对于介质的速度（靠近观察者为正）

$$f' = f\cdot\frac{u \pm v_o}{u \mp v_s}$$

记忆规则：观察者靠近波源时 $v_o$ 取 $+$，波源靠近观察者时 $v_s$ 取 $-$（分母取 $-$，频率升高）。

情况	公式
波源静止，观察者运动	$f' = f\dfrac{u \pm v_o}{u}$
观察者静止，波源运动	$f' = f\dfrac{u}{u \mp v_s}$
双方都运动	$f' = f\dfrac{u \pm v_o}{u \mp v_s}$

特殊情况

• 波源和观察者互相靠近：$f' > f$（频率升高）
• 波源和观察者互相远离：$f' < f$（频率降低）
• 波源速度超过波速（$v_s > u$）：产生冲击波（音爆）

多普勒效应不仅适用于声波，也适用于光波。天文学中，星系发出的光频率偏红（红移），说明星系在远离我们——这是宇宙膨胀的直接证据。

符号说明

符号	含义	单位
$f$	波源频率	Hz
$f'$	接收频率	Hz
$u$	波速	m/s
$v_o$	观察者速度	m/s
$v_s$	波源速度	m/s

应用场景

交通测速雷达利用多普勒效应：雷达发射固定频率的电磁波，被运动的汽车反射后频率发生变化，通过测量频率偏移量可以精确计算车速。

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本章常用公式表

类别	公式	说明
波速关系	$u = \lambda f$	波长、频率、波速的关系
波函数（正向）	$y = A\cos\left[\omega\left(t - \dfrac{x}{u}\right) + \varphi\right]$	沿 $x$ 正方向传播
波函数（负向）	$y = A\cos\left[\omega\left(t + \dfrac{x}{u}\right) + \varphi\right]$	沿 $x$ 负方向传播
等价形式	$y = A\cos(\omega t - kx + \varphi)$	波数 $k = 2\pi/\lambda$
弦上波速	$u = \sqrt{F/\mu}$	$F$ 张力，$\mu$ 线密度
平均能量密度	$\bar{w} = \frac{1}{2}\rho A^2\omega^2$	一个周期的平均值
波的强度	$I = \frac{1}{2}\rho A^2\omega^2 u$	能流密度
干涉加强	$\Delta\varphi = \pm 2k\pi$	相位差为 $2\pi$ 整数倍
干涉减弱	$\Delta\varphi = \pm(2k+1)\pi$	相位差为 $\pi$ 奇数倍
驻波方程	$y = 2A\cos kx\cos\omega t$	两列反向波叠加
弦上谐波	$f_n = n\dfrac{u}{2L}$	基频 $f_1 = u/(2L)$
多普勒效应	$f' = f\dfrac{u \pm v_o}{u \mp v_s}$	符号规则见正文

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第六章 热力学基础

本章定位：前几章用确定性的力学方法描述单个物体或简单系统的运动。本章转向由大量分子组成的热力学系统，从宏观和微观两个角度理解热现象。宏观上建立热力学定律，微观上用分子动理论解释压强、温度和内能的本质。

章节目标

• 理解理想气体状态方程及热力学系统的描述方法
• 掌握热力学第一定律及其在等值过程中的应用
• 理解热机效率和卡诺循环
• 了解热力学第二定律的两种表述和熵的概念
• 从微观角度理解压强、温度和内能的统计本质

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6.1 理想气体状态方程与热力学系统

概念讲解

前面几章研究的是单个物体或简单系统（一个质点、一根弹簧）。热力学研究的是由大量分子组成的系统——比如一缸气体、一杯水。我们不再追踪每个分子的运动，而是用少数几个宏观量（压强、体积、温度）来描述系统的整体状态。

直觉类比：描述一个班级的特征，你不需要知道每个同学的身高，只需要知道平均身高、最高值、最低值等统计量就够了。热力学也是同样的思路——用宏观的统计量来描述微观粒子集合的整体行为。

热力学系统

• 系统：被研究的对象（如气缸中的气体）
• 外界：系统以外的一切
• 边界：系统与外界的分界面

系统按与外界的交换关系分类：

类型	交换能量	交换物质	例子
开放系统	✓	✓	烧水的开口壶
封闭系统	✓	✗	带活塞的气缸
孤立系统	✗	✗	理想保温瓶

平衡态

热力学中最常讨论的状态是平衡态：在没有外界影响的条件下，系统的宏观性质（$p$、$V$、$T$）不随时间变化的状态。

注意：平衡态不是「静止」——微观上分子仍在剧烈运动，只是宏观量的统计平均值不变。

状态参量

描述气体平衡态的三个基本参量：

参量	符号	单位	含义
压强	$p$	Pa	气体对器壁单位面积的压力
体积	$V$	m³	气体占据的空间
温度	$T$	K	冷热程度的量度

温度的换算：$T(\text{K}) = t(°\text{C}) + 273.15$

理想气体状态方程

在压强不太高、温度不太低的条件下，真实气体近似服从理想气体状态方程：

$$pV = \nu RT$$

其中：

• $\nu$（读作 nu）：气体的物质的量（摩尔数），$\nu = m/M$（质量 / 摩尔质量）
• $R = 8.314$ J/(mol·K)：普适气体常量

理想气体的微观模型：分子间无相互作用力，分子本身不占体积（质点近似）。

符号说明

符号	含义	单位
$p$	压强	Pa
$V$	体积	m³
$T$	热力学温度	K
$\nu$	物质的量（摩尔数）	mol
$R$	普适气体常量	8.314 J/(mol·K)
$m$	气体质量	kg
$M$	摩尔质量	kg/mol

应用场景

给自行车轮胎打气时，压入的气体摩尔数 $\nu$ 增加，体积 $V$ 近似不变（轮胎刚性），由 $p = \nu RT / V$ 可知压强 $p$ 随之增大。这就是轮胎越打越硬的原因。

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6.2 热力学第一定律

概念讲解

热力学第一定律是能量守恒定律在热力学中的表述。它告诉我们：系统内能的改变，等于外界对系统传递的热量与做功之和。

直觉类比：你的银行账户余额（内能）变化，要么是因为有人给你转账（吸热），要么是因为你自己工作赚了钱（外界对系统做功）。两种方式都能增加余额，但来源不同。

核心概念

内能 $U$：系统内部所有分子的动能和势能的总和。对于理想气体（分子间无相互作用），内能只取决于温度：

$$U = \frac{i}{2}\nu RT$$

内能是状态量——只取决于当前状态（$T$、$V$、$p$），与达到这个状态的过程无关。

热量 $Q$：系统与外界因温度差而传递的能量。吸热 $Q > 0$，放热 $Q < 0$。

功 $W$：通过宏观位移传递的能量。气体膨胀对外做功 $W > 0$，外界压缩气体做功 $W < 0$。

热量和功都是过程量——它们的大小取决于过程的路径，不是状态的固有属性。

热力学第一定律

$$Q = \Delta U + W$$

文字表述：系统吸收的热量，一部分用于增加内能，另一部分用于对外做功。

符号约定：

• $Q > 0$：系统吸热
• $Q < 0$：系统放热
• $\Delta U > 0$：内能增加（温度升高）
• $\Delta U < 0$：内能减少（温度降低）
• $W > 0$：系统对外做功（气体膨胀）
• $W < 0$：外界对系统做功（气体被压缩）

气体做功的计算

气体在准静态过程中做功：

$$W = \int_{V_1}^{V_2} p\,dV$$

在 $p$-$V$ 图上，功等于过程曲线下的面积。

符号说明

符号	含义	单位
$Q$	热量	J
$\Delta U$	内能变化	J
$W$	功	J
$p$	压强	Pa
$V$	体积	m³
$C_V$	定容摩尔热容	J/(mol·K)
$C_p$	定压摩尔热容	J/(mol·K)

应用场景

柴油发动机利用绝热压缩点火：活塞快速压缩气缸内的空气，过程快到几乎没有热量散失（$Q \approx 0$），外界做功全部转化为空气的内能，温度急剧升高（可达 500°C 以上），足以点燃喷入的柴油。

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6.3 热力学第一定律的应用

概念讲解

热力学第一定律在不同的具体过程中有不同的表现。以下四种等值过程是最基本的过程类型——每种过程中有一个参量保持不变。

一、等容过程（定容过程）

体积不变（$V = \text{const}$）：$W = \int p\,dV = 0$

$$Q = \Delta U = \nu C_V \Delta T$$

等容过程中，吸收的热量全部转化为内能的增加，不做功。

定容摩尔热容：

$$C_V = \frac{i}{2}R$$

其中 $i$ 是分子的自由度。

二、等压过程（定压过程）

压强不变（$p = \text{const}$）：

$$W = p(V_2 - V_1) = p\Delta V$$

$$Q = \nu C_p \Delta T$$

$$\Delta U = Q - W = \nu C_V \Delta T$$

定压摩尔热容：

$$C_p = C_V + R = \frac{i+2}{2}R$$

为什么 $C_p > C_V$？ 等压膨胀时，气体吸热后既要升温（增加内能），又要膨胀对外做功。等容过程中吸热只需升温。因此同样的温升，等压过程需要吸收更多的热量。

迈尔关系：

$$C_p - C_V = R$$

比热比（绝热指数）：

$$\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{i+2}{i}$$

三、等温过程（定温过程）

温度不变（$T = \text{const}$）：$\Delta U = 0$（理想气体内能只取决于温度）

$$Q = W = \int_{V_1}^{V_2} p\,dV = \nu RT\ln\frac{V_2}{V_1}$$

等温过程中，吸收的热量全部转化为对外做功，内能不变。

由 $pV = \nu RT = \text{const}$，等温线在 $p$-$V$ 图上是双曲线。

四、绝热过程

系统与外界无热量交换（$Q = 0$）：

$$W = -\Delta U = -\nu C_V \Delta T$$

外界对系统做功全部转化为内能的增加。

绝热过程中，$p$、$V$、$T$ 满足：

$$pV^\gamma = \text{const}$$

$$TV^{\gamma-1} = \text{const}$$

绝热线比等温线更陡（同样的体积变化，绝热过程的压强变化更大）。

四种过程对比表

过程	不变量	$W$	$Q$	$\Delta U$
等容	$V$	$0$	$\nu C_V \Delta T$	$\nu C_V \Delta T$
等压	$p$	$p\Delta V$	$\nu C_p \Delta T$	$\nu C_V \Delta T$
等温	$T$	$\nu RT\ln(V_2/V_1)$	$= W$	$0$
绝热	$Q=0$	$-\nu C_V \Delta T$	$0$	$\nu C_V \Delta T$

符号说明

符号	含义	单位
$C_V$	定容摩尔热容	J/(mol·K)
$C_p$	定压摩尔热容	J/(mol·K)
$\gamma$	比热比（绝热指数）	—
$i$	分子自由度	—

应用场景

自行车打气筒快速压缩时近似为绝热过程（来不及散热），筒壁会发热。如果慢慢压缩，热量有时间散失，则近似为等温过程，筒壁不会明显升温。

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6.4 循环过程与热机

概念讲解

热机（如蒸汽机、内燃机）的工作原理是：通过一系列热力学过程，将热量部分转化为机械功，并循环往复执行。

直觉类比：水车利用水从高处流到低处的势能做功。热机类似，利用热量从高温热源流向低温热源的过程做功。但有一个根本限制——不可能把吸收的热量全部转化为功，总有一部分热量被排到低温热源。

正循环与逆循环

类型	方向	效果	例子
正循环（热机）	顺时针	吸热做功	汽油机、蒸汽机
逆循环（制冷机）	逆时针	做功吸热	冰箱、空调

热机效率

热机从高温热源（$T_1$）吸收热量 $Q_1$，对外做功 $W$，向低温热源（$T_2$）排出热量 $Q_2$：

$$W = Q_1 - Q_2$$

热机效率：

$$\eta = \frac{W}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$$

效率总是小于 1（不可能 $\eta = 1$，否则违反热力学第二定律）。

卡诺循环

卡诺循环是由两个等温过程和两个绝热过程组成的理想循环，它给出了在两个温度之间工作的热机的最高可能效率。

卡诺效率：

$$\eta_C = 1 - \frac{T_2}{T_1}$$

其中 $T_1$、$T_2$ 分别是高温热源和低温热源的热力学温度（单位：K）。

卡诺效率只取决于两个热源的温度比，与工作物质无关。要提高效率，要么提高 $T_1$，要么降低 $T_2$。

制冷机的制冷系数：

$$e = \frac{Q_2}{W} = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$$

符号说明

符号	含义	单位
$Q_1$	从高温热源吸收的热量	J
$Q_2$	向低温热源排出的热量	J
$W$	对外做功	J
$\eta$	热机效率	—
$\eta_C$	卡诺效率	—
$T_1$	高温热源温度	K
$T_2$	低温热源温度	K
$e$	制冷系数	—

应用场景

火力发电厂的锅炉温度约 600°C（873 K），冷凝器温度约 30°C（303 K）。卡诺效率上限为 $\eta_C = 1 - 303/873 \approx 65\%$。实际效率远低于此（约 40%），因为存在摩擦、散热等不可逆因素。

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6.5 热力学第二定律与熵

概念讲解

热力学第一定律说「能量守恒」，但它没有限制能量转化的方向。比如，热量自发地从低温物体传到高温物体并不违反能量守恒——但现实中这种事从不发生。热力学第二定律正是关于过程方向性的定律。

两种表述

开尔文表述（热机角度）：

不可能从单一热源吸收热量，使之完全变为有用功，而不产生其他影响。

即：第二类永动机不可能存在。

克劳修斯表述（传热角度）：

热量不可能自发地从低温物体传到高温物体。

两种表述是等价的——如果一个成立，另一个必然成立。

可逆与不可逆过程

• 可逆过程：系统和外界都能恢复到初始状态，不留下任何痕迹。可逆过程是理想化的（无摩擦、准静态、无热传导）。
• 不可逆过程：现实中所有实际过程都是不可逆的。摩擦生热、自由膨胀、热传导——这些过程只能单向进行。

直觉类比：打碎一个杯子是不可逆过程——你无法让碎片自动拼回完整的杯子，尽管这并不违反能量守恒。

熵

熵 $S$ 是描述系统无序程度的状态量。热力学第二定律的另一种表述是：

孤立系统的熵永不减少：$\Delta S \geq 0$

等号仅在可逆过程中成立。

对于可逆过程，熵变的定义：

$$dS = \frac{dQ_{rev}}{T}$$

有限过程的熵变：

$$\Delta S = \int \frac{dQ_{rev}}{T}$$

熵增原理的物理意义：自然过程总是朝着概率更大的状态演化。一滴墨水在水中扩散（熵增），但扩散开的墨水不会自动聚回一滴（熵减），因为前者的微观状态数远多于后者。

符号说明

符号	含义	单位
$S$	熵	J/K
$\Delta S$	熵变	J/K
$T$	热力学温度	K
$dQ_{rev}$	可逆过程中的微小热量	J

应用场景

冰块在室温下融化——冰的分子排列有序（低熵），水分子排列无序（高熵）。融化过程熵增，符合热力学第二定律。反过来，水在室温下自发结冰（熵减）不会发生——除非有外界干预（如冰箱做功）。

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6.6 分子动理论基础

概念讲解

前面几节从宏观角度讨论了热现象。本节从微观角度揭示压强、温度和内能的统计本质——它们不是单个分子的属性，而是大量分子运动的统计平均结果。

压强的微观本质

压强是大量气体分子频繁碰撞器壁的统计结果。从分子运动论出发，可以推导出：

$$p = \frac{1}{3}nm\overline{v^2} = \frac{2}{3}n\overline{\varepsilon_k}$$

其中：

• $n = N/V$：分子数密度（单位体积内的分子数）
• $m$：单个分子的质量
• $\overline{v^2}$：分子速率的方均值
• $\overline{\varepsilon_k} = \frac{1}{2}m\overline{v^2}$：分子的平均平动动能

压强取决于两个因素：分子数密度 $n$（碰撞的频繁程度）和分子平均平动动能（每次碰撞的力度）。

温度的微观本质

将压强公式与理想气体状态方程 $p = nk_BT$（$n = N/V$，$N = \nu N_A$，$R = N_A k_B$）对比，可得：

$$\overline{\varepsilon_k} = \frac{3}{2}k_BT$$

温度是分子平均平动动能的量度。温度越高，分子运动越剧烈。$T = 0$ K（绝对零度）时，分子的平动动能理论上为零（经典力学的结论，量子力学有修正）。

能量均分定理

在热平衡状态下，分子的每个自由度平均分配 $\frac{1}{2}k_BT$ 的能量。

自由度 $i$：确定分子在空间中位置所需的独立坐标数。

分子类型	自由度 $i$	例子	平均动能
单原子分子	3（平动）	He、Ne、Ar	$\frac{3}{2}k_BT$
双原子分子	5（3平动 + 2转动）	$O_2$、$N_2$、$H_2$	$\frac{5}{2}k_BT$
多原子分子	6（3平动 + 3转动）	$H_2O$、$CO_2$	$\frac{6}{2}k_BT = 3k_BT$

理想气体内能

$1$ mol 理想气体的内能：

$$U = \frac{i}{2}RT$$

$\nu$ mol 理想气体的内能：

$$U = \frac{i}{2}\nu RT$$

内能只取决于温度和分子类型，与体积和压强无关（这是理想气体的特征）。

三种统计速率

速率	公式	说明
方均根速率	$v_{rms} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}} = \sqrt{\dfrac{3k_BT}{m}}$	与动能直接相关
平均速率	$\overline{v} = \sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}}$	用于计算碰撞频率
最概然速率	$v_p = \sqrt{\dfrac{2RT}{M}}$	分布曲线的峰值

三者的关系：$v_p < \overline{v} < v_{rms}$

麦克斯韦速率分布

在热平衡状态下，气体分子的速率服从麦克斯韦速率分布：

$$f(v) = 4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2} v^2 \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right)$$

$f(v)$ 的物理意义：$f(v)\,dv$ 表示速率在 $v$ 到 $v+dv$ 之间的分子占总分子数的比例。

温度升高时，分布曲线变宽变矮——高速分子的比例增大，但曲线下的总面积始终为 1（归一化）。

符号说明

符号	含义	单位
$p$	压强	Pa
$n$	分子数密度	1/m³
$\overline{\varepsilon_k}$	分子平均平动动能	J
$k_B$	玻尔兹曼常量	$1.38 \times 10^{-23}$ J/K
$T$	热力学温度	K
$i$	自由度	—
$U$	内能	J
$N_A$	阿伏伽德罗常量	$6.022 \times 10^{23}$ /mol
$v_{rms}$	方均根速率	m/s
$f(v)$	速率分布函数	s/m

应用场景

为什么氦气球会上升？氦气是单原子分子（$i=3$，$M=4$ g/mol），空气主要是双原子分子（$i=5$，$M \approx 29$ g/mol）。在相同温度下，氦气的密度 $\rho = pM/(RT)$ 远小于空气密度，浮力大于重力，气球上升。

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本章常用公式表

类别	公式	说明
状态方程	$pV = \nu RT$	理想气体
热一律	$Q = \Delta U + W$	能量守恒
气体做功	$W = \displaystyle\int_{V_1}^{V_2} p\,dV$	准静态过程
等容过程	$W = 0$，$Q = \nu C_V \Delta T$	定容热容 $C_V = \frac{i}{2}R$
等压过程	$W = p\Delta V$，$Q = \nu C_p \Delta T$	定压热容 $C_p = \frac{i+2}{2}R$
等温过程	$\Delta U = 0$，$Q = W = \nu RT\ln\dfrac{V_2}{V_1}$	内能不变
绝热过程	$Q = 0$，$pV^\gamma = \text{const}$	$\gamma = C_p/C_V$
迈尔关系	$C_p = C_V + R$	连接两种热容
热机效率	$\eta = 1 - \dfrac{Q_2}{Q_1}$	$Q_1$ 吸热，$Q_2$ 放热
卡诺效率	$\eta_C = 1 - \dfrac{T_2}{T_1}$	理论最高效率
制冷系数	$e = \dfrac{T_2}{T_1 - T_2}$	逆循环
压强公式	$p = \frac{2}{3}n\overline{\varepsilon_k}$	微观统计
温度公式	$\overline{\varepsilon_k} = \frac{3}{2}k_BT$	温度的微观本质
能量均分	每个自由度 $\frac{1}{2}k_BT$	平衡态下
内能	$U = \frac{i}{2}\nu RT$	理想气体
方均根速率	$v_{rms} = \sqrt{3RT/M}$	与动能直接相关
熵变	$\Delta S = \displaystyle\int \frac{dQ_{rev}}{T}$	可逆过程

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